等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发

等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S。 
（1）求出S关于t的函数关系式；     
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？     
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。
图片

【解答】

解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴图片
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴图片（4分）
（2）∵S△ABC=图片（5分）
∴当t＜10秒时，S△PCQ=图片
整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）     
当t＞10秒时，S△PCQ=  图片  
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5图片（舍去负值）（7分）
∴当点P运动图片秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）     
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=图片t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10图片
∴DE=5图片  
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5图片
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．